描述空间物体的模型主要包括2类: 欧式几何模型与天然表面模型。欧式几何模型的研究对象主要包括2部分: 1)简单、 可解析的欧式几何形状, 用于描述物体的整体规则形状, 如球体、 立方体等; 2)其衍生形态中偏离欧式几何形状的自由、 随机的部分, 如立方体的1个平面上的自由波状起伏; 在该模型中, 粗糙程度不会随着空间位置的变化而有较大变化, 表现为1种稳态模型。天然表面模型是1种非稳态模型(Berry et al., 1978; Sayles et al., 1978); 例如海岸线等, 在该模型中, 粗糙程度不仅会随着空间位置改变发生较大变化, 而且还会随着观测尺度的变化而变化。在描述天然表面模型时, 这种粗糙度随尺度的变化性决定了不能采用类似于起伏标准偏差的参数, 而需要借助分形模型(如自相似、 自相仿等), 才能更加全面地反映天然表面模型的形貌特征。

断层迹线是断层面与地表面的交线, 通常表现为连续的或非连续的, 并在一定尺度范围内呈现出不规则的波状起伏特征, 我们把这种不规则的几何特征称为粗糙度(Brown et al., 1985), 它是剖面线形貌特征研究中的重要参数之一。断层迹线属于天然表面模型, 可以用自仿射的方法来描述它的粗糙度(Schmittbuhl et al., 1993; Candela et al., 2009)。在对多种自仿射方法进行比较和分析后, 普遍认为能谱密度方法可以准确计算和描述断层形貌特征(Power et al., 1991; Perron et al., 2008; Candela et al., 2009)。首先, 它能方便地量化断层的粗糙程度, 其次, 能够展示粗糙度随尺度变化的特征。同时, 能谱密度方法是断层粗糙度分析过程中较为常用与成熟的方法(Brown, 1987; Candela, 2009; Sagy et al., 2017), 因此, 本文采用能谱密度方法对天然断层迹线进行形貌特征分析。

图 1

Fig. 1

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	图 1 3种类型的同震地表破裂迹线Fig. 1 Three types of co-seismic surface rupture traces.

能谱密度的计算是通过快速傅里叶变换把1个时间序列或者空间序列转化为频率域内的1组正弦波, 这些正弦波各自具有不同的波长、 振幅和相位; 然后, 对振幅进行平方得到能量, 能量随着频率的变化即为能谱图, 最后, 在频率上对能谱进行归一化处理, 进而得到能谱密度(图2)(Brown, 1995)。

图 2

Fig. 2

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	图 2 能谱密度计算方法图示Fig. 2 Schematic diagram demonstrating the power spectrum density method.

对于自相仿剖面, 能谱密度函数G(k)遵循下面的幂次定律:

G(k)=Ck-α

k为频率值, k=2π/λ, λ为波长值; 幂率指数 α为有效范围值( 2< α< 3)。断层迹线形貌特征可以通过能谱密度曲线与曲线的指数等参数进行描述: 1) 幂率指数 α(双对数图中的斜率 K), 表示剖面线形貌随尺度的变化特征; 2)比例系数C(双对数图中的截距值γ ), 用来描述单位长度上剖面线的起伏程度。

为了量化断裂迹线的粗糙度, 同时针对断裂迹线的几何展布特点, 我们编写了基于MATLAB语言的处理程序, 处理步骤主要包括: 1)对数据进行拼接、 旋转。 拼接就是指移除同1条断裂迹线内包含的阶区与间断。阶区与间断是断层中常见的不规则结构, 它们的存在会影响傅里叶变换结果, 从而使粗糙度的分析结果发生偏离(Candela et al., 2012)。在本研究中, 通过移除阶区与间断来重建断层几何展布的方法(图3)对数据进行处理, 就可以避免这种影响; 同时, 对具有分支的断层, 则进行留取主断层的几何展布, 舍弃次级分支断层的处理。旋转就是将断层迹线的总体走向调整为与X轴平行。 2)进行数据的插值和傅里叶变换运算, 这里的插值间隔取值为1m, 获得能谱密度图。 3)计算多条数据的能谱密度的平均值。

图 3

Fig. 3

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	图 3 断层阶区移除与间断拼接图示Fig. 3 Schematic illustration of removing steps and jointing fault segments.

地表破裂和活动断裂可以分为走滑、 正断与逆冲3种端元类型。在实际的野外考察过程中, 会发现破裂活动行为十分复杂。例如, 走滑断裂局部往往会伴随有倾滑分量, 尤其是局部断裂迹线与总体走向有一定的交角时(Florensov et al., 1963; Kurushin et al., 1997), 或在阶区和断裂端部, 都会发育强烈的挤压与拉张, 并伴生明显的倾滑分量(Klinger et al., 2006); 在正断或者逆冲断裂的末端, 往往会伴生走向平行于运动方向的捩断层(邓起东, 2011), 因此, 忽略端元类型之间的过渡类型, 会对分析结果的准确性带来一定的影响。此外, 地貌起伏也会对倾滑断层在地表的迹线展布产生影响(例如, “ V” 字形法则), 使得断层迹线局部偏离断层面与水平地表的交线, 因此, 在用断层迹线代替断层面进行研究时, 迹线的准确性会不可避免地受到地形的影响。但是, 由于地表起伏的高差影响的范围(几十m— km级)与断裂的长度(十几km— 几百km级)不在1个数量级, 我们认为这种影响是局部的、 有限的, 这里研究的是断层形貌特征的1种总体效应。

4.2.1 能谱密度曲线特征

同震地表破裂的能谱密度叠加图(图4a, b, c)中, 在hm以下尺度, 3种破裂类型的曲线本身具有较大差异, 表现相对离散。我们分析造成这种现象的原因主要有2个: 1)发震断层本身具有不同的成熟度, 会影响同震地表破裂的形貌特征; 2)数据来自不同的数据源, 具有不同的清晰度、 分辨率, 这会影响形貌在小尺度上的精确性。正是由于这些原因的干扰, 所以在研究3种破裂类型各自的共性特征时, 要对能谱密度进行求平均值处理。

4.2.2 断层粗糙度的分段性

利用能谱密度的方法对同震地表破裂与活动断层进行分析, 观察到能谱密度曲线具有明显的分段性(图6, 表2), 反映出同震地表破裂与活动断层的形貌特征不能用单一分形参数描述(Power et al., 1991; Lee et al., 1996)。对能谱密度曲线中各段分别进行最小二乘法线性拟合, 相邻拟合直线的交点为拐点。拐点对应的波长为特征波长, 其物理含义随具体的研究对象及其研究尺度而不同(Chen et al., 1993; Lee et al., 1996; Candela et al., 2009; Wei et al., 2013)。在研究微观尺度(mm级)形貌面特征时, Chen 等(1993)发现在能谱密度曲线上存在拐点, 认为它是由于在晶体(颗粒)内与晶体(颗粒)间2个尺度上的主导变形模式不同导致的。Lee 等(1996)对野外露头尺度(几cm— 几十m)断层面进行研究时, 认为能谱密度曲线上的拐点是由于不同尺度上断层面形貌的控制因素不同造成的, 小于拐点一侧的尺度内线性特征主要受到摩擦滑动与次级破裂的影响, 大于拐点一侧的尺度内断层面形貌主要受到断层的横向扩展过程与次级断裂贯通的控制。天然断层面的长时期暴露也会引起形貌结构在尺度上的变化, 侵蚀风化(Power et al., 1991)和失稳破裂(Scholz et al., 1986)2个主要过程分别控制着断层面的几何形貌的高频和低频成分(Brown et al., 1985; Wei et al., 2013)。

在本研究中, 我们发现了2个拐点, 分别位于km级尺度和hm级尺度。在km级尺度拐点处, 我们认为能谱密度曲线拐点两侧的线性特征受到不同因素的控制; 在km级以上尺度, 3种破裂类型的同震地表破裂与走滑断层的能谱密度曲线的指标参数均存在近似性, 不论是能谱值, 还是斜率与截距。因此, 我们认为它们统一代表了在km级以上尺度的构造块体边界的形貌特征; 在km级以下尺度, 断层(破裂)形貌特征控制因素主要来自于断层的横向扩展、 次级断裂的贯通以及局部地形。而在hm级尺度上存在的拐点, 它对应的特征波长也就是重采样的有效长度。在对底图数据电子化重采样时, 2个采样点之间的有效间隔也会对形貌分析结果产生影响(Candela, 2012)。对重采样数据进行傅里叶变换前进行插值, 当选取的插值间隔小于重采样长度时, 能谱曲线就会在重采样尺度附近产生拐点。拐点左侧曲线及其指标参数反映了重采样数据本身具有的特征; 而右侧曲线特征则受到插值方法的控制, 在图上形成无实际意义的斜率, 表现出高斯白噪声特征。

能谱密度曲线拟合直线的斜率及截距可以用来描述断层迹线的形貌特征。斜率代表了几何形貌的复杂程度与不规则性, 斜率越小表示断层迹线的形貌越复杂, 说明剖面起伏在局部范围内变化越频繁, 在长距离上变化相对越小; 高斜率则代表相反的意义。截距值是能谱密度曲线拟合直线与纵轴交点的坐标值, 代表断层迹线在该尺度上的起伏程度, 截距值越高代表迹线在该波长上的垂直高差越大(Klinkenberg et al., 1992; Sung et al., 1998, 2004)。由于研究尺度的原因, 单位长度上的截距值并没有实际意义, 所以研究中通常使用能谱密度曲线拟合直线与拐点处的纵轴相交的纵截距。只有将斜率与截距值结合起来才能全面地描述断层迹线的几何形貌特征。

在该研究中, 能谱密度曲线拟合直线的斜率和截距不仅在各频域段之间具有较大差异, 而且在中高频域段内同震地表破裂的3种破裂类型之间也存在差异(表2), 在中频域(Ⅱ )段内有, 斜率: 走滑型(6.08)> 正断型(3.94)> 逆冲型(1.87), 100m波长对应的纵截距: 走滑型(-¹.41)< 正断型(2.37)< 逆冲型(4.78); 在高频域(Ⅲ )段内, 单位波长对应的截距: 走滑型(-6.39)< 正断型(-2.56)< 逆冲型(-0.21)。以上差异表明单次破裂(同震地表破裂)的几何形貌特征在该尺度范围内主要受控于破裂类型, 这种差异也有助于我们对同震地表破裂进一步地量化研究。

活动断层是一系列地震破裂叠加积累的结果, 因此, 同震地表破裂与活动断层能谱密度曲线的差异也就反映了单次破裂和多次破裂叠加的差异。我们将活动断层与同震地表破裂二者的平均能谱密度曲线进行比较(图7), 可以发现: 1)在km级以上尺度的能谱密度, 正断型和逆冲型的单次破裂与多次破裂表现基本一致; 在km级以下尺度的能谱密度, 逆冲型单次破裂与多次破裂之间相差较大(图7箭头A), 正断型单次破裂与多次破裂相差较小(图7箭头B), 约为逆冲型的一半。2)对于走滑型, 在km级以上尺度的能谱密度, 单次破裂高于多次破裂(图7箭头C); 在km级与m级之间的能谱密度, 单次破裂又低于多次破裂(图7箭头D)。

图 7

Fig. 7

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	图 7 同震地表破裂与活动断层能谱密度双对数曲线对比 CR N: 正断型同震地表破裂; CR R: 逆冲型同震地表破裂; CR SS: 走滑型同震地表破裂; AF N: 正断型活动断层; AF R: 逆冲型活动断层; AF SS: 走滑型活动断层Fig. 7 Comparison of average power spectrum density curves between the co-seismic surface ruptures and active faults.

断层的形成与扩展往往经历1个从复杂到简单的过程, 如多条分支断层羽状或雁行斜列到追踪张式的阶区发展到贯通、 断层转折或弯曲的裁弯取直以及断层间断点的逐渐贯通等等。单次破裂迹线上这些斜列阶区、 弯曲、 间断、 凸起、 凹陷等复杂几何形貌特征被较好地保存和体现, 所以同震地表破裂的能谱密度较高。随着地震破裂的叠加与累计位移量的增加, 地表的断层迹线逐渐被贯通, 趋于连续、 平滑, 能谱密度降低(Sagy et al., 2007)(图7箭头A, B, C)。这种同类型运动方式的同震地表破裂(单次破裂)与活动断层(多次破裂叠加)的能谱密度比较, 实际上反映了断层从初始状态向成熟状态演化的过程中, 断层(破裂)的粗糙度或几何结构在不同频率域中的变化, 即粗糙度与成熟程度成反比。